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fred — 2011-11-23T20:16:45Z

Nombres relatifs : addition soustraction. 5e.

webm — 2011-05-02T14:09:27Z

Addition de deux nombres relatifs

Propriété : L'addition de deux nombres relatifs est définie à partir de l'addition de deux nombres positifs, de la définition d'un nombre relatif négatif et de l'addition de deux nombres opposés de telle sorte que les propriétés connues de l'addition soient toujours valables.

Justification : dans les exemples ci-dessous, on se ramène à des additions connues en utilisant les définitions (en particulier la définition de deux nombres relatifs opposés).

situation 1 :

On fait apparaître la définition des opposés 7 et (-7) pour faire l'addition.
On utilise la définition des nombres opposés.

situation 2 :

on utilise les opposés des deux nombres dont on connait la somme.
On applique cette définition.
Par définition de l'opposé.

situation 3 :

On décompose (-9) en une somme connue de deux nombres relatifs.
On applique la définition de l'opposé d'un nombre.

Propriété (induite par la propriété de l'addition) : L'ordre dans lequel on fait les additions n'a pas d'importance.

Exemples :

Soustraction de deux nombres relatifs.

Propriété : Soustraire par un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.

Exemples :

Justification sur un exemple générique :
b un nombre relatif, nous allons soustraire b au nombre (-12) :
La différence est par définition le nombre qui ajouté à b donne (-12) :

Or si on ajoute au nombre b, la somme , alors on obtient le nombre (-12) (voir le calcul ci-dessous) :

on applique les propriétés de l'addition des nombres relatifs.
on applique la définition des nombres opposés.
Donc la somme , répond à l'opération à trou : , c'est donc que cette somme est la différence .
Donc .

Equations 4e

webm — 2011-01-21T09:26:47Z

Définition :
Une équation est une égalité de deux expressions (appelées les membres de l'équation) pour laquelle on cherche les nombres (les inconnues) qui vérifient cette égalité.
Résoudre une équation, c'est donner toutes les valeurs de (des) l'inconnue(s) qui rendent l'égalité vraie. Ces nombres sont appelés les solutions de l'équation.

Exemple :
(-2) est une solution de l'équation suivante :


En effet, si :
	et

Équation du premier degré à une inconnue :

Définition :
Dans une équation du premier degré à une inconnue, il n'y a qu'une seule inconnue et l'exposant de l'inconnue est 1.

Exemples :
est une équation du premier degré à une inconnue.
est une équation du second degré à une inconnue.
est une équation du premier degré à deux inconnues.

Equations types :

L'équation du type :		a et b étant deux nombres donnés
a une seule solution :

L'équation du type :		a et b étant deux nombres, a non nul
a une seule solution :
L'équation du type :		les nombres étant non nuls
se résoud en transformant sous la forme :

On utilise 2 propriétés pour résoudre une équation :

propriété :

L'égalité est conservée quand on ajoute ou on retranche un même nombre aux deux membres de l'égalité.

a, b, c trois nombres relatifs	a= b
alors	a + c = b + c
et	a - c = b - c

propriété :

L'égalité est conservée quand on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.

a, b, c trois nombres relatifs, c non nul	a= b
alors	a c = b c
et

Exemple :

Résolution de l'équation :
1. Si un nombre désigné ici par x est solution de l'équation ci-dessus alors :
2. Si le nombre désigné par x est solution des équations ci dessus alors :
Vérification que la valeur trouvée est bien solution, en remplaçant dans chaque membre de l'équation par cette valeur :
Donc la solution de l'équation initiale est :

Ville à égale distance

Seb — 2010-10-18T06:51:56Z

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Triangle rectangle : Théorème de Pythagore 4e

coccinelle — 2010-10-01T10:11:43Z

Propriété 1 : ...............................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

Autrement dit, ............................................................................................................... :

...............................................................................................................

Propriété 2 : ...............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

Autrement dit, dans le triangle ABC ci-dessous : ..............................................................................................................
...............................................................................................................

Remarque : le théorème de Pythagore constitué des deux propriétés ci-dessus, sert :

...............................................................................................................
...............................................................................................................

Repère 6e

Seb — 2010-09-29T16:56:58Z

Repérage sur une droite :

Pour graduer une droite, on place deux points O et I sur la droite, la distance OI étant choisie comme unité. Le point O représente la valeur zéro et le point I la valeur un. Puis on gradue la droite en reportant l'unité de longueur avec le compas

Définitions :
Le point O est l'origine.
Le point I est le point unité.
Le segment [OI] est appelé le segment unité.
Chaque point d'une droite graduée est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point.

Remarque :
Le point O a pour abscisse 0.

Le point I a pour abscisse 1.

Exemple :

Le point A a pour abscisse 3.

Remarque :
Lorsque le segment unité est coupé en dix morceaux, alors chaque morceau représente un dixième.
Lorsque le segment unité est coupé en cent morceaux, alors chaque morceau représente un centième.

Exemple :

Le point B représente trois dixièmes d'unité donc il a pour abscisse 0,3.
Le point C représente une unité et 9 dixièmes, donc il a pour abscisse 1,9.

Nombres relatifs 5e Introduction

Seb — 2010-09-25T15:53:14Z

DES SOUSTRACTIONS TOUJOURS POSSIBLES

Les nombres utilisés auparavant au collège ne suffisent pas pour compléter certaines additions à trous ; comme par exemple, 6 + ... = 4. Pour palier à ce problème, on introduit des nouveaux nombres : les nombres relatifs.

Définition :
......................................................................................................................................................................

Notation :
......................................................................................................................................................................

Vocabulaire :
......................................................................................................................................................................

Remarque :
-2=...............=...............=...............=...
On a alors ...............

Définition :
......................................................................................................................................................................

Exemple : -5 + 5 = 5 + (-5) = ...
......................................................................................................................................................................

REPÉRAGE SUR UNE DROITE GRADUÉE

Par symétrie par rapport à l'origine, on peut compléter la droite graduée :

Remarque :
......................................................................................................................................................................

DES NOMBRES RELATIFS DANS LA VIE COURANTE

Exemples :
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

COMPARAISON DE NOMBRES RELATIFS

Pour comparer des nombres relatifs, on peut :
Utiliser une droite graduée :

Exemple : ...... < ...... et ...... > ......

Comparer les nombres avec 0 :

Exemple : ...... > 0 ; ...... < 0 donc ...... < ......

Comparer des nombres négatifs : ...........................................................................................

Nombres relatifs 5e Introduction

Seb — 2010-09-25T12:56:48Z

DES SOUSTRACTIONS TOUJOURS POSSIBLES

Les nombres utilisés auparavant au collège ne suffisent pas pour compléter certaines additions à trous ; comme par exemple, 6 + ... = 4. Pour pallier à ce problème, on introduit des nouveaux nombres : les nombres relatifs.

Définition :
Le nombre qui ajouté à 6 donne 4 est le nombre 4 - 6.

Remarque :
Ce nombre est défini par d'autres différences toutes égales entre elles :
0 - 2 = 1 - 3 = 4 - 6 = ...

Notation :
Ce nombre 0 - 2 est noté (-2)
On a alors 6 + (-2) = 4

Vocabulaire :
(-2) est un nombre négatif.

Définition :
Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle

Exemple : (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0
(-5) est l'opposé de 5 et 5 est l'opposé de (-5).

Notation :
L'opposé d'un nombre a relatif, est noté (-a) car par définition a + (0 - a) = 0 noté a + (-a) = 0

REPÉRAGE SUR UNE DROITE GRADUÉE

Par symétrie par rapport à l'origine, on peut compléter la droite graduée :

Remarques :
Deux points de la droite graduée, symétriques par rapport à l'origine ont des abscisses opposées.
Les nombres sont rangés dans le sens de lecture de la droite graduée.

DES NOMBRES RELATIFS DANS LA VIE COURANTE

Exemples :
Pour exprimer l'altitude : le nombre 0 représente dans ce cas le niveau de la mer.
Sur une frise historique : le nombre 0 représente alors la naissance de JC.
Sur un compte bancaire : Le nombre 0 représente alors un équilibre entre dépenses et recettes.

Volume d'une boule

Seb — 2010-09-19T10:29:16Z

La vidéo ci-dessous illustre la situation décrite dans le manuel de 3^e page 275.

Roussel S., créé avec Geospace

Remarque : ceci n'est qu'une simulation de la situation. Ce n'est en aucun cas suffisant pour démontrer le résultat trouvé par Archimède.

Approximation du volume d'une demie-boule

Seb — 2010-09-19T10:03:52Z

La vidéo ci-dessous illustre la situation décrite dans le manuel de 3^e page 275 (méthode d'exhaustion) pour approcher le volume d'une boule.

Roussel S., créé avec Geospace

Remarque : les valeurs affichées dans la vidéo correspondent au volume des demie-boule.