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Par : webm
Publié : 30 avril 2005
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Ordre 4ème

Vocabulaire

Le sigle \leq signifie "est inférieur ou égal à".

Le sigle \geq signifie "est supérieur ou égal à".

Signe de la différence

Comparer des nombres relatifs revient à étudier le signe de leur différence.

Quels que soient les nombres relatifs a et b :
si : a < b alors a-b < 0 si : a-b < 0 alors a < b
si : a > b alors a-b > 0 si : a-b > 0 alors a > b
si : a = b alors a-b = 0 si : a-b = 0 alors a = b

Exemples :

Avec une calculatrice, comparer : \frac{2568}{359} \ et \ \frac{1732}{242} Sans calculatrice, comparer : \frac{11}{3} \ et \ \frac{23}{7}
\frac{2568}{359} - \frac{1732}{242} \approx -0.0038 \frac{11}{3} - \frac{23}{7} = \frac{77}{21} - \frac{69}{21} = \frac{8}{21}
négatif positif
donc \frac{2568}{359} < \frac{1732}{242} donc \frac{11}{3} > \frac{23}{7}

Ordre et opérations

Propriété :

L’addition (ou la soustraction) conserve l’ordre.
Quels que soient les nombres relatifs a, b et c :
si : a < b alors a+c < b+c (ou a-c < b-c)
si : a > b alors a+c > b+c (ou a-c > b-c)
si : a = b alors a+c = b+c (ou a-c = b-c)
On dit que les nombres a + c et b + c (ou a - c et b - c) sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b

Exemples :

Si a < 7 alors  a+4 < 7+4 et si a < 7 alors  a-9  < 7-9.

Propriété :

La multiplication (ou la division) par un nombre positif conserve l’ordre.
Quels que soient les nombres relatifs a, b et c :
si : a < b et c > 0 alors a \times c < b \times c(ou \frac{a}{c}<\frac{b}{c})
si : a > b et c > 0 alors a \times c > b \times c(ou \frac{a}{c}>\frac{b}{c})
si : a = b alors a \times c = b \times c(ou \frac{a}{c}=\frac{b}{c})
Lorsque c est strictement positif, les nombres ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b

Exemples :

Si a > -8.4 alors  3 \times a > 3 \times \left(-8.4 \right)

Propriété :

La multiplication (ou la division)par un nombre négatif inverse l’ordre.
Quels que soient les nombres relatifs a, b et c :
si : a < b et c < 0 alors a \times c > b \times c(ou \frac{a}{c}>\frac{b}{c})
si : a > b et c < 0 alors a \times c < b \times c(ou \frac{a}{c}<\frac{b}{c})
si : a = b alors a \times c = b \times c(ou \frac{a}{c}=\frac{b}{c})
Lorsque c est strictement négatif, les nombres ac et bc sont rangés dans l’ordre inverse de a et b

Exemples :

3.2 < 7.4 mais  3.2 \times \left(-8 \right) > 7.4 \times \left(-8 \right).