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Par : fred
Publié : 21 mars 2005

Racine carrée 3ème

Définition :

  • Si a est un nombre positif, on appelle racine carrée de a l’unique nombre positif tel que son carré est égal à a. C’est-à-dire la solution positive de l’équation  x^2 = a , a\geq{0}.
  • Ce nombre est noté : \sqrt{a} , on lit : "racine carrée de a" et donc (\sqrt{a})^2=a pour a\geq{0}
  • le symbole \sqrt{\ } s’appelle le radical .

Propriété

  • D’après la définition, on a l’égalité suivantes : \sqrt{a^2}=a|pour a\geq{0}|

Exemples :

  • Certaines racines carrées sont des nombres entiers naturels :
\sqrt{0}=0\sqrt{1}=1\sqrt{4}=2\sqrt{9}=3\sqrt{16}=4\sqrt{25}=5
\sqrt{36}=6\sqrt{49}=7\sqrt{64}=8\sqrt{81}=9\sqrt{100}=10
  • Certaines racines carrées sont de nombres décimaux ou fractionnaires :
\sqrt{6,25}=2,5car (2,5)^2=6,25
\sqrt{0,09}=0,3car (0,3)^2=0,09
\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}car (\frac{1}{3)^2=\frac{1}{9}
  • Mais, en général, la racine carrée d’un nombre n’a pas d’écriture fractionnaire et donc décimale. Dans ce cas, on ne peut avoir qu’une valeur approchée .
\sqrt{2}\approx{1,414}\sqrt{3}\approx{1,732}\sqrt{10}\approx{3,16}

Opérations et racines carrées

- Produit

Propriété :
Le produit de racines carrées est égal à la racine carrée des produits.

Pour a et b positifs, on a :\ \ \ \ \sqrt{a}\times{\sqrt{b}}=\sqrt{a\times{b}}

Exemples :

\sqrt{3}\times{\sqrt{5}}=\sqrt{3\times{5}}=\sqrt{15}\sqrt{12}\times{\sqrt{3}}=\sqrt{12\times{3}}=\sqrt{36}=6

- Quotient

Propriété :
Le quotient de racines carrées est égal à la racine carrée des quotients.

Pour a et b positifs, et b non nul, on a :\ \ \ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

Exemples :

\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{28}{7}}=\sqrt{4}=2\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3

- Somme

\sqrt{m+n}\neq\sqrt{m}+\sqrt{n}

Contre-exemple :

\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10mais\sqrt{64}+\sqrt{36}=8+6=14

- Application à la simplification d’écriture

Le principe est d’écrire les racines carrées sous la forme a\times{\sqrt{b}} avec b le plus petit possible. Pour cela on applique l’égalité suivante :
\ \ \ \sqrt{a^2b}=a\times{\sqrt{b}}=a\sqrt{b} avec a\geq{0} et b\geq{0}

Exemples :

\sqrt{45}=\sqrt{3^2\times{5}}=3\sqrt{5}
\sqrt{1000}=\sqrt{10^2\times{10}}=10\sqrt{10}
\sqrt{72}=\sqrt{6^2\times{2}}=6\sqrt{2}