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Par : Seb
Publié : 8 avril 2005

Triangle et parallèle 4ème

Droite des milieux

Théorème
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Données Conclusion
\Longrightarrow

I\ milieu\ de\ [AB],
J\ milieu\ de\ [AC]

(IJ)//(BC)

Théorème
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.


Autrement dit, si ABC est un triangle et si I est le milieu de [AB] et J celui de [BC], alors IJ=\frac{BC}{2}.

Théorème

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté en étant parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.

Données Conclusion
\Longrightarrow

I\ milieu\ de\ [AB], I\in\Delta\ et\ \Delta//(BC)

\Delta\ coupe\ [AC]\ en\ son\ milieu\ J


Propriété de Thalès

Propriété de Thalès
Dans un triangle ABC, si M\in[AB], N\in[AC] et (MN)//(BC), alors

 \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.



Données Conclusion
\Longrightarrow Les longueurs des côtés du triangle ABC sont proportionnelles à celles du triangle AMN.

M\in[AB], N\in[AC] et (MN)//(BC)

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Remarques :
- L’égalité des rapports \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC} est équivalente à celle des rapports \frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}.
- L’égalité des rapports traduit le fait que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

AM AN MN
AB AC BC

Cas particulier : Dans le cas où I est le milieu de [AB] et J celui de [AC], alors (IJ)//(BC) (premier théorème de la droite des milieux) et la propriété de Thalès donne :

\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AC}=\frac{IJ}{BC}=\frac{1}{2}