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Par : webm
Publié : 21 janvier 2011

Equations 4ème

Définition :
Une équation est une égalité de deux expressions (appelées les membres de l’équation) pour laquelle on cherche les nombres (les inconnues) qui vérifient cette égalité.
Résoudre une équation, c’est donner toutes les valeurs de (des) l’inconnue(s) qui rendent l’égalité vraie. Ces nombres sont appelés les solutions de l’équation.

Exemple :
(-2) est une solution de l’équation suivante :

\underbrace{x^{2} +1}_{1er \ menbre} = \underbrace{3 - x}_{2nd \ menbre}
En effet, si :x = -2
x^{2} + 1 = (-2)^{2} + 1 =  4 + 1 = 5 et 3 - x = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5

Équation du premier degré à une inconnue :

Définition :
Dans une équation du premier degré à une inconnue, il n’y a qu’une seule inconnue et l’exposant de l’inconnue est 1.

Exemples :
4x + 3 = x - 2,5 est une équation du premier degré à une inconnue.
4x^2+3 =x - 2,5 est une équation du second degré à une inconnue.
x+y=286 est une équation du premier degré à deux inconnues.

Equations types :

L’équation du type :a + x = ba et b étant deux nombres donnés
a une seule solution :b-a
L’équation du type : a x = ba et b étant deux nombres, a non nul
a une seule solution :\frac{b}{a}
L’équation du type : \frac{a}{x} = \frac{b}{c}les nombres étant non nuls
se résoud en transformant sous la forme :xb = ac

On utilise 2 propriétés pour résoudre une équation :

propriété :

L’égalité est conservée quand on ajoute ou on retranche un même nombre aux deux membres de l’égalité.
a, b, c trois nombres relatifsa= b
alorsa + c = b + c
eta - c = b - c

propriété :

L’égalité est conservée quand on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres de l’égalité.
a, b, c trois nombres relatifs, c non nula= b
alorsa\times c = b \times c
et\frac{a}{c}  = \frac{b}{c}

Exemple :

Résolution de l’équation :

\begin{eqnarray*} 3x + 7&=&1 - 2x \end{eqnarray*}

1. Si un nombre désigné ici par x est solution de l’équation ci-dessus alors :

\begin{eqnarray*} 3x + 7+2x&=&1 - 2x+2x \\ 5x + 7 &=& 1\\ 5x&=&- 6 \end{eqnarray*}

2. Si le nombre désigné par x est solution des équations ci dessus alors :

\begin{eqnarray*} x&=&- \frac{6}{5} \end{eqnarray*}

Vérification que la valeur trouvée est bien solution, en remplaçant dans chaque membre de l’équation par cette valeur :

\begin{eqnarray*} 3 \times \frac{-6}{5} + 7= \frac{-18}{5} +7 = \frac{-18}{5} + \frac{35}{5}= \frac{17}{5} \\ 1 - 2 \times \frac{-6}{5} = 1 + \frac{12}{5} = \frac{5}{5} + \frac{12}{5} = \frac{17}{5} \end{eqnarray*}

Donc la solution de l’équation initiale est : - \frac{6}{5}