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Publié : 2 mars 2005

Triangle (Thalès) 3ème

Théorème de Thalès :

- Soit deux droites d et d’ sécantes en A .
- Soit B et M deux points de d, distincts de A .
- Soit C et N deux points de d’, distincts de A .
- Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les longueurs des triangles ABC et AMN ainsi formés sont proportionnelles, ce qui peut se traduire par : \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Trois cas de figure de deux triangles en « situation de Thalès » :

Données : M є (AB), N є (AC) et (BC)//(MN)

Conclusion : \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.

Remarque : dans chaque cas, les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre .

Réciproque du théorème de Thalès :

- Soit d et d’ deux droites sécantes en A .
- Soit B et M deux points de d, distincts de A .
- Soit C et N deux points de d’, distincts de A .
- Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si les longueurs des triangles ABC et AMN sont proportionnelles, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Remarque : Pour prouver que les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles, il suffit de le faire pour 2 des 3 mesures, en prouvant, par exemple l’une des égalités suivantes :
\frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC} ou \frac{AM}{AB}= \frac{MN}{BC} ou \frac{MN}{BC}= \frac{AN}{AC}

Les trois cas de figures suivantes peuvent se présenter (les figures ont été faites à main levée) :

Données :
- A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre.
- \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC} (par exemple)

Conclusion :
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.