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Par : webm
Publié : 28 février 2005

Puissance 4ème

Puissances d’exposant positif

1. Définition :

Si n désigne un nombre entier positif non nul et a est un nombre relatif
a^{n} =   \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{n facteurs} ( a^{n} se lit « a exposant n »)
Si  a \neq 0, on a a^{0} = 1.

Exemples :
3^{5} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243
(-1)^{5} = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = -1
7^{0}=1
(-6,08)^{0}=1.

2. Cas particuliers :

a^{3} se lit « a au cube »  a^{2} se lit « a au carré »  a^{1} = a
4^{3}= 4\times4\times4=64  1,1^{2}= 1,1\times1,1=1,21  7,5^{1} = 7,5

3. Puissances de 10 :
10^{5} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100 000 (« 1 » puis « 5 zéros »)
10^{9} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 000 000 000 (« 1 » et « 9 zéros »)

Définition :
n désigne toujours un nombre entier positif non nul.

On note 10^{n} le produit de n facteurs tous égaux à 10, c’est « 1 suivi n zéros ».

4. Règle des signes :
- Si a est positif, alors  a^{n} est positif ( quelque soit n).
- Si a est négatif et si n est pair, alors  a^{n} est positif.
- Si a est négatif et si n est impair, alors  a^{n} est négatif.

Exemples :

(-3)^{2}=9 (-3)^{3}= -27 (-3)^{4} = 81 (-3)^{5}= -243

Attention :
l’exposant est prioritaire sur le signe :
-3^{2}= -(3^{2})= -9

Puissances d’exposant négatif

Définition :
Si a est différent de 0 et si n est un entier naturel non nul :

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} ou :a^{-n} est l’inverse de a^{n}

Exemple :
5^{-2}=\frac{1}{25}= 0.004 ; (-2)^{-3}=\frac{1}{-8}=-0.125

Signes : voir « puissances d’exposant positif ».

Puissances de 10 :

10^{-1} =0.1 10^{-2} =0.01 10^{-3} =0.001 10^{-4} =0.0001

Formule :

Si n est un nombre naturel non nul, 10^{-n} =\underbrace{0.00...0}_{n \ zeros}1

Ecriture scientifique d’un nombre

Tout nombre décimal, même s’il est entier, peut s’écrire sous la forme d \times 10^{e}, d étant un nombre tel que d\geq1 et d\leq10, et e étant un nombre entier positif ou négatif.

Exemple :

3600=3.6\times10^{3} -42= - 4.2\times10^{1} 901.5=9.015\times10^{2}
0.0066=6.6\times10^{-3} 0.8=8\times10^{-1} -0.000053=-5.3\times10^{-5}

Lorsque la calculatrice affiche, par exemple « 1,7055-09 » ou « 1,7055EE09 » ou « 1,7055-EEX9 », cela représente le nombre 1,7055\times10^{-9}, c’est -à-dire 0,000 000 001 705 5

Calcul sur les puissances de 10

Formules : m et n désignent des entiers.

10^{m}\times 10^{n}= 10^{m+n} Exemple : 10^{8}\times 10^{-3}= 10^{5}
\frac{10^{m}}{10^{n}}= 10^{m-n} Exemple : \frac{10^{6}}{10^{-3}}= 10^{9}
\left(10^{m}\right)^{n}=10^{m\times n} Exemple : \left(10^{-2}\right)^{4}=10^{-8}