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Par : Seb
Publié : 24 février 2009

Probabilités 3e

Notion de probabilité

Définitions :
- Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
- Un événement est constitué par une ou plusieurs issues d’une expérience aléatoire.

Exemple :

On lance une roue, les issues possibles sont  1 ; 2 ; 3 . L’événement "obtenir un chiffre impair" a deux issues : 1 et 3

- La probabilité d’un événement A est un nombre compris entre 0 et 1 mesurant la possibilité que l’événement se réalise lors d’une expérience aléatoire.

Notation :
- La probabilité d’un événement A se note p(A)

Exemple :
- En lançant la roue, la probabilité p(1) d’obtenir le chiffre 1 est de 1 chance sur 6. On note p(1)=\frac{1}{6}. On a aussi p(2)=\frac{1}{3} et p(3)=\frac{1}{2}.

Propriétés :
- La probabilité p d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
- La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1.

Représentation :

- On lance la roue de l’exemple précédent :

Arbre des possiblesArbre pondéré par les probabilités

Définitions :
- Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire ; sa probabilité est égale à 0.
- Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement ; sa probabilité est égale à 1.

Événements incompatibles et événements contraires

Définition :
- Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire en même temps.

Exemple :
- Lors d’un lancer de dé, l’événement "obtenir 2" et l’événement "obtenir un nombre impair" sont incompatibles.

Propriété :
- Lorsque deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se produise est égale à la somme de leurs probabilités : p(A ou B)=p(A)+p(B)

Exemple :

Une urne contient 2 boules blanches, 3 boules rouges et 5 boules jaunes. Soit les événements R "tirer une boule rouge", J "tirer une boule jaune" et B "tirer une boule blanche". p(B)=\frac{2}{10} ; p(J)=\frac{5}{10} ; p(R)=\frac{3}{10}. Les événements B et J sont incompatibles donc p(B ou J)=p(B)+p(J)=0,2+0,5=0,7

Définition :
- L’événement contraire de A, que l’on peut noter "non A", est celui qui se réalise lorsque A n’a pas lieu.

Conséquence :
- Les événements A et non A sont incompatibles on a donc : p(A)+p(non A)=1

Expérience à deux épreuves : exemple

On lance une pièce équilibrée, puis on fait tourner la roue précédente. On peut alors construire l’arbre pondéré de cette expérience :

Propriété :
- Dans un arbre, la probabilité de l’issue auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Exemple :
La probabilité de l’événement A : "obtenir Pile puis 2" est p(A)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}