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Publié : 16 juin 2008

Arithmétique 3ème

Dans tout ce chapitre nous travaillerons avec des entiers naturels, c’est à dire des entiers positifs.

Diviseur d’un entier :

..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................

Exemple 1 :
 18 = .......... \times .......... donc .................................................................................
Exemple 2 :

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

Diviseurs communs à deux entiers naturels :

..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................

Exemple : 36 = .................... et 24 = .................... donc ...... est un diviseur commun à ...... et ...... .

PGCD :

La liste des diviseurs de :
- 60 est : ......................................................................................................
- 48 est : ......................................................................................................
Les diviseurs communs à ...... et ...... sont donc : ............................................................................................ .

L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté PGCD(a ;b)
PGCD signifie : Plus Grand Commun Diviseur .

Exemple : PGCD(48 ;60) =...... .

Méthodes de recherche du PGCD :

- Méthode des soustractions successives :

On cherche à calculer le PGCD de 203 et 261 .
Un diviseur commun à 203 et 261 est aussi un diviseur commun de leur ............................................................ .
On remplace donc la recherche du PGCD de 203 et 261 par celle du PGCD de deux nombres plus petits ....... et ....... .
On recommence le même procédé de soustraction avec ces deux nouveaux nombres .

.......- ....... = ....... donc PGCD(....... ;....... ) =PGCD ( ....... ; .......) .
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
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- Méthode des divisions successives :

On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit nombre.
On prend le diviseur et le reste de la division précédente, puis on recommence .
On s’arrête lorsque le reste est nul .

ou  261 = ......\times203+...... donc PGCD(203 ;261) = PGCD(....... ;.......)
ou  ........ =  ........\times ........+ ........ donc PGCD( ........ ; ........) = PGCD( ........ ; ........)
ou   ........ =  ........\times ........+ ........ donc PGCD( ........ ; ........) = PGCD( ........ ; ........) = ........ .

On en déduit que PGCD (203 ;261) = ........ .

Fractions irréductibles

-  Nombres premiers entre eux :

..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................

Exemple 1 :
- diviseurs de 45 : ............................................................ .
- diviseurs de 28 : ............................................................ .
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................

Exemple 2 :
PGCD(48 ;60) = ......, .....................................................................................................

- Fractions irréductibles :

..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................

Exemples :
- La fraction \frac{45}{28} .....................................................................................................
- La fraction \frac{60}{48} .....................................................................................................
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