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Publié : 5 février 2009

Equations 3ème

Équations produit

Définition : Une équation produit est une équation du type A \times B =0A et B sont des expressions littérales.

Exemple :
L’équation (3x-1)(2x+9)=0 est une équation produit.

Propriété : Si un produit est nul Alors l’un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, si A \times B =0 alors A=0 ou B=0.

Cette propriété fournit donc une méthode de résolution des équations produit

Exemple :
Résoudre l’équation produit (3x-1)(2x+9)=0

Si un produit est nul Alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

Donc

3x-1=0ou2x+9=0
3x=1ou2x=-9
x=\frac{1}{3}oux=\frac{-9}{2}=-4,5

Les solutions de l’équation sont donc \frac{1}{3} et -4,5.

Equations carrées

Définition : une équation carrée est du type x^2=a où a est un nombre donné.

1er cas2ème cas3ème cas
Si a<0 Alors l’équation n’a pas de solutionSi a=0 alors l’équation admet une unique solution :  x=0 Si a>0 Alors l’équation admet deux solutions : \ \ x=\sqrt{a}\ \ et\ \ x=-\sqrt{a}

Exemples :

l’équation x^2=-25n’as pas de solution car -25<0
l’équation x^2=49admet deux solutions x=\sqrt{49}=7\ ou\ x=-\sqrt{49}=-7
l’équation x^2=3admet deux solutions x=\sqrt{3}\ ou\ x=-\sqrt{3}

Systèmes d’équations

Définitions :

  • Un système de deux équations à deux inconnues est la donnée de deux équations dans lesquelles on trouve deux inconnues représentées par deux lettres distinctes
  • Résoudre un système d’équations à deux inconnues, c’est trouver tous les couples de nombres qui vérifient les deux égalités simultanément. Un tel couple est appelé solution du système d’équations.

Exemple :

 \left \{
\begin{array}{c @{=} c l}
5x+3y & -2& (1)\\
2x+y & 1 & (2)\\
\end{array}
\right. ~ est un système de deux équations à deux inconnues qui sont x et y.

- Pour x=-1 et y=1, on a :
5x+3y=5 \times {(-1)} + 3 \times{1}=-5+3=-2 ~ Donc le couple (-1 ;1) est solution de l’équation (1)
2x+y=2 \times{(-1)}+1=-2+1=-1 \neq 1 Donc le couple (-1 ;1) n’est pas solution de l’équation (2)
Ainsi le couple (-1 ;1) n’est pas solution du système, il ne vérifie qu’une des deux égalités.

- Pour x=5 et y=-9, on a :
5x+3y=5 \times {5} + 3 \times{(-9)}=25-27=-2 ~ Donc le couple (5 ;-9) est solution de l’équation (1)
2x+y=2 \times{5}+(-9)=10-9=1 Donc le couple (5 ;-9) est solution de l’équation (2)
Ainsi le couple (5 ;-9) est solution du système, il vérifie les deux égalités.

Remarque : L’ordre dans lequel on écrit les éléments du couple solution est important. En effet, si le couple (5 ;-9) est solution, le couple (-9 ;5) ne l’est pas, puisque pour x=-9 et y=5, 5x+3y=5 \times{(-9)}+3 \times{5}=-45+15=-30\neq-2 et l’équation (1) n’est pas vérifiée.

Méthodes de résolution de système d’équation

Méthode de résolution par substitution

On considère le système suivant :
 \left \{
\begin{array}{c @{=} c l}
x-y & 4& (1)\\
2x+5y& -6 & (2)\\
\end{array}
\right. ~

- On exprime une inconnue en fonction de l’autre : (1) devient alors x=4+y
- On remplace x par sa valeur en fonction de y soit 4+y dans l’équation (2) et on obtient ainsi une équation à une seule inconnue à résoudre :
\begin{array}{r @{=} l}
2(4+y)+5y&-6\\
8+2y+5y&-6\\
8+7y&-6\\
7y&-14\\
y&-2\\
\end{array}
- On peut alors déterminer la valeur de l’autre inconnue en remplaçant y par -2 :
x=4+(-2)=2
- Vérification :
Pour x=2 et y=-2, on a :
x-y=2-(-2)=4 ~ Donc le couple (2;-2) est solution de l’équation (1)
2x+5y=2 \times{2}+5 \times{(-2)}=4-10=-6 Donc le couple (2;-2) est solution de l’équation (2)
Ainsi le couple (2;-2) est solution du système.

Méthode de résolution par combinaison

On considère le système suivant :
 \left \{
\begin{array}{c @{=} c l}
6x-5y & 3& (1)\\
2x-3y& 5 & (2)\\
\end{array}
\right. ~

- On multiplie les deux membres de l’une des deux équations (ou des deux) de telle sorte les termes contenant l’une des inconnues soit des nombres opposés ou égaux. Ici, on multiplie l’équation (2) par -3 et le système devient :

 \left \{
\begin{array}{c @{=} c l}
6x-5y & 3& (1)\\
-6x+9y& -15 & (2)\\
\end{array}
\right. ~

- On additionne ou on soustrait membre à membre les équations (1) et (2) et on obtient une équation à une seule inconnue à résoudre :

 \left \{
\begin{array}{c @{=} c l}
6x-5y & 3& (1)\\
-6x+9y& -15 & (2)\\
\end{array}
\right.
\begin{array}{c @{=} c l}
\hline
0+4y&-12& (3)\\
\end{array}

- On résoud l’équation (3) : 4y=-12 ~ donc ~ y=-3
- On peut alors déterminer la valeur de l’autre inconnue en remplaçant y par -3, dans l’équation (1), par exemple :
\begin{array}{r @{=} l}
6x-5\times{-3} &3\\
6x+15&3\\
6x&-12\\
x&-2\\
\end{array}
- Vérification

Le couple (-2;-3) est donc solution du système proposé.