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Publié : 12 juin 2008

Arithmétique 3ème

Dans tout ce chapitre nous travaillerons avec des entiers naturels, c’est à dire des entiers positifs.

Diviseur d’un entier :

a et k étant deux entiers naturels tels que k ≠ 0 .
Si  \frac{a}{k} est un entier naturel alors k est un diviseur de a .
On dit aussi que a est un multiple de k ou encore que a est divisible par k .

Exemple 1 :
 18 = 9 \times 2 donc 9 et 2 sont des diviseurs de 18.
Exemple 2 :

Le reste de la divsion euclidienne de 26 par 4 n’est pas nul donc 26 n’est pas divvisible par 4

Diviseurs communs à deux entiers naturels :

Si deux entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k, on dit que k est un diviseur commun de a et b .

Exemple : 36 = 12\times3 et 24 = 12\times2 donc 12 est un diviseur commun à 24 et 36 .

PGCD :

La liste des diviseurs de :
- 60 est : 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;10 ;12 ;15 ;20 ;30 ;60 .
- 48 est : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;16 ;24 ;48 .
Les diviseurs communs à 60 et 48 sont donc : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12.

L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté PGCD(a ;b)
PGCD signifie : Plus Grand Commun Diviseur .

Exemple : PGCD(48 ;60) = 12 .

Méthodes de recherche du PGCD :

- Méthode des soustractions successives :

On cherche à calculer le PGCD de 203 et 261 .
Un diviseur commun à 203 et 261 est aussi un diviseur commun de leur différence ( 261-203 = 58) .
On remplace donc la recherche du PGCD de 203 et 261 par celle du PGCD de deux nombres plus petits 58 et 203 .
On recommence le même procédé de soustraction avec ces deux nouveaux nombres .

 261-203 = 58 donc PGCD( 203 ;261 ) =PGCD (58 ;203) .
203-58 = 145 donc PGCD( 58 ;203) = PGCD( 58 ;145) .
145-58 = 87 donc PGCD(58 ;145 ) = PGCD(58 ;87) .
87-58 = 29 donc PGCD( 58 ;87 ) = PGCD( 58 ;29) .
58-29 = 29 donc PGCD( 58 ;29 ) = PGCD( 29 ;29 ) = 29 .
On en conclut que : PGCD( 203 ;261) = 29 .

- Méthode des divisions successives :

On effectue la division euclidienne deu plus grand nombre par le plus petit nombre.
On prend le diviseur et le reste de la division précédente, puis on recommence .
On s’arrête lorsque le reste est nul .

ou 261 = 1\times203+58donc PGCD(203 ;261) = PGCD(58 ;203)
ou 203 = 3\times58+29donc PGCD(58 ;203) = PGCD(58 ;29)
ou 58 = 2\times29+0donc PGCD(58 ;29) = PGCD(29 ;0) = 29 .

On en déduit que PGCD (203 ;261) = 29 .

Fractions irréductibles

-  Nombres premiers entre eux :

On dit que deux entiers (non nuls) a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1 .

Exemple 1 :
- diviseurs de 45 : 1 ;3 ;5 ;9 ;15 ;45 .
- diviseurs de 28 : 1 ;2 ;4 ;7 ;14 ;28 .
1 est le seul diviseur commun à 45 et 28 donc PGCD(28 ;45) =1
On en déduit que 28 et 45 sont deux nombres premiers entre eux

Exemple 2 :
PGCD(48 ;60) = 12, 48 et 60 ne sont donc pas premier entre eux .

- Fractions irréductibles :

Une fraction est irréductible si sont numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux .
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD .

Exemples :
- La fraction \frac{45}{28} est irréductible car 45 et 28 sont premiers entre eux .
- La fraction \frac{60}{48} n’est pas irréductible car 60 et 48 ne sont pas premiers entre eux .
On peut alors la simplifier : \frac{60}{48} = \frac {5\times12}{4\times12} = \frac{5}{4} (fraction irréductible) .