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Publié : 21 avril 2008

Fonction affine 3ème

Introduction sur un exemple :

Soit ABCD un rectangle tel que AD = 3 et AB peut varier et prendre différentes valeurs, on note donc AB =x. A chaque valeur de x, le périmètre de ce rectangle est égal à 2x+6.
La fonction qui à toute valeur x de la longueur associe la valeur du périmètre, est définie par p : x \longmapsto 2x+6.
Ce type de fonction est appelé fonction affine.

Définition :

Soit a et b deux nombres fixés.
Définir une fonction affine, c’est associer à chaque nombre x le nombre ax+b.
On dit alors que ax+b est l’image de x.

Notation : Si on note f la fonction affine alors f(x) = ax+b (se lit « f de x est égal à ax+b ») ou f : x \longmapsto ax+b (se lit « f est la fonction qui à x associe ax+b »).

Exemple : Soit f : x \longmapsto 2x-1
L’image de 3 est 2 \times  3-1 c’est-à-dire 5. Donc f(3) = 5.

Cas particuliers :
Si b = 0, la fonction devient f :x \longmapsto ax. C’est une fonction linéaire.
Si a = 0, la fonction devient f : x \longmapsto  b. C’est une fonction constante.

Détermination d’une fonction affine :

Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 6 est l’image de 3 et -2 est l’image de 2.

3 \longmapsto 6donc a \times 3 + b = 6ou 3a + b = 6 (1)
2 \longmapsto -2donc a \times 2+b = -2ou 2a + b  = -2 (2)

Si 4 nombres sont égaux alors leurs différences 2 à 2 sont égales, d’où l’égalité suivante :
3a + b - (2a + b) = 6 -(-2)
3a + b - 2a-b = 6 + 2
a  = 8
On remplace a par la valeur trouvée, 8 dans la première équation :
3 \times  8 + b  = 6
24 + b = 6
b= 6-24 = -18

On vérifié que les valeurs trouvées répondent aux conditions données.
La fonction cherchée est donc la fonction : f : x \longmapsto 8x-18

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction affine x \longmapsto ax+b est la droite d’équation y = ax + b.
C’est à dire que les ordonnées y des points sur la droite s’obtiennent à partir des abscisses x en faisant ce calcul y = ax + b.
a est appelé coefficient directeur de la droite.
b est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemples :
- Soit f : x   \longmapsto 2x + 3. f(0)=3 et f(1)=5 donc la représentation graphique de la fonction affine f est la droite d1 passant par les points A(0;3) et B(1;5). Cette droite a pour équation y = 2x+3
- Soit g : x \longmapsto 2x. g(1)=2 donc la représentation graphique de la fonction linéaire g est la droite d2 passant par l’origine et le point C(1;2) . Cette droite a pour équation y = 2x
- Soit h : x \longmapsto 3. h(0)=3 et h(1)=3 donc la représentation graphique de la fonction constante h est la droite d3 passant par les points A(0;3) et D(1;3). Cette droite a pour équation y = 3.