Vous êtes ici : Accueil > Les Fiches de Cours > Fonction linéaire 3ème
Publié : 20 avril 2008

Fonction linéaire 3ème

Proportionnalité et fonctions linéaires :

- Introduction sur un exemple :

Le côté et le périmètre d’un triangle équilatéral sont proportionnels.

Pour calculer le périmètre d’un triangle équilatéral, on multiplie le côté par 3.
A chaque valeur x du côté on peut associer le périmètre f(x) et on a : f(x) = 3x.
Ce type de fonction est appelé fonction linéaire.

- Généralisation :

Définition : Soit a un nombre fixé.
Définir la fonction linéaire de coefficient a, c’est associer à chaque nombre x son produit par a c’est à dire a \times x = ax.

Notation : Si on note f la fonction linéaire de coefficient a alors f(x) = ax (se lit « f de x est égal à ax ») ou  f :x \longmapsto  ax (se lit « f est la fonction qui à x associe ax »).

Vocabulaire :f(x) est l’image de f par x.

Exemple : Dans l’exemple précédent : f(x) = 3x ou f :x \longmapsto  3x.
f est la fonction linéaire de coefficient 3.
L’image de 2 par f est 6. On note  f (2) = 6 ou  f : 2  \longmapsto   6 .

- Exemple de détermination de fonction linéaire :

On cherche à déterminer la fonction linéaire f dont l’image de 3est  -18.
On traduit les données :

ou  f(3) = -18ou f : 3 \longmapsto  -18

On calcule le coefficient a :
3 \times a  = -18 donc a = \frac{-18}{3}  = -6.
La fonction linéaire f cherchée est donc f : x \longmapsto  -6x.

Ainsi pour déterminer le coefficient a d’une fonction linéaire, il suffit de faire le calcul :
 a = \frac{image\ d' un\ nombre}{ce\ nombre}

Représentation graphique d’une fonction linéaire.

Soit a un nombre fixé.
La représentation graphique de la fonction linéaire f : x \longmapsto   ax est une droite passant par l’origine du repère. Cette droite a pour équation y = ax.
C’est à dire que les ordonnées y des points sur la droite s’obtiennent à partir des abscisses x en faisant ce calcul y = ax.
a est appelé coefficient directeur de la droite.

Exemple : Représentation graphique des fonctions linéaires : f1 :  x  \longmapsto   -4x et f2 : x \longmapsto   \frac {3}{2} x.
Pour tracer chacune des droites il suffit de déterminer les coordonnées d’un second point autre que l’origine :
- f1(1) = -4 d’où la droite d1 d’équation y = -4x passe par O ( 0 ; 0 ) et A (1 ; -4 )
- f2(2) = 3 d’où la droite d2 d’équation y = \frac{3}{2} x passe par O ( 0 ; 0 ) et B ( 2 ; 3 )
Finalement on obtient la représentation graphique suivante :