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Publié : 30 mars 2008

Triangle rectangle : trigonométrie 3ème

Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle aigu \widehat{ABC} sont les nombres notés respectivement cos\ \widehat{ABC} , sin\ \widehat{ABC} et tan\ \widehat{ABC} définis par :
- cos\ \widehat{ABC}  =  \frac{ \mbox{longueur du côté adjacent à l'angle } \widehat{ABC}}{\mbox{longueur de l'hypoténuse}}
- sin\ \widehat{ABC} =  \frac{ \mbox{longueur du côté opposé à l'angle } \widehat{ABC}}{\mbox{longueur de l'hypoténuse}}
- tan\ \widehat{ABC}  = \frac{ \mbox{longueur du côté opposé à l'angle } \widehat{ABC}}{\mbox{longueur du côté adjacent à l'angle } \widehat{ABC}}

Remarque :
- Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1.
- Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.

Exemple 1 : ABC est un triangle rectangle en A avec BC = 9,6 cm et AB = 2,8 cm. On cherche à calculer l’angle \widehat{ABC}  :

Le triangle ABC étant rectangle en A, on a :

cos\ \widehat{ABC} = \frac{\mbox{longueur du côté  adjacent à l'angle } \widehat{ABC}}{\mbox{longueur de l'hypoténuse}} = \frac{AB}{BC} = \frac{2,8}{9,6}

Pour déterminer alors la valeur de l’angle, on tape à la calculatrice :

"cos^{-1}(\frac{2,8}{9,6}) =  " ou "Acs (\frac{2,8}{9,6})= "

On obtient :  \widehat{ABC} \approx 73° (arrondi au dixième).

Exemple 2 : EFG est un triangle rectangle en F avec \widehat{EGF} = 35° et EG = 5 cm. On cherche à calculer la longueur EF :

Le triangle EFG étant rectangle en F, on a :

sin\ \widehat{EGF} = \frac{\mbox{longueur du côté opposé à l'angle } \widehat{EGF}}{\mbox{longueur de l'hypoténuse}} = \frac{EF}{EG}

Donc sin\ 35 ° = \frac{EF}{5} .

EF = sin\ 35° \times 5 \approx 2,87 (arrondi au centième).

Exemple 3 : RST est un triangle rectangle en S avec ST = 8 et RS = 5 cm. On cherche à calculer la longueur \widehat{SRT}  :

Le triangle RST étant rectangle en S, on a :

tan\ \widehat{SRT}  = \frac{\mbox{longueur du côté opposé à l'angle } \widehat{SRT}}{\mbox{longueur du côté adjacent à l'angle } \widehat{SRT}} = \frac{ST}{RS} = \frac{8}{5}

Pour déterminer alors la valeur de l’angle, on tape à la calculatrice :

"tan^{-1}(\frac{8}{5}) = " ou "Atn (\frac{8}{5})= "

On obtient :  \widehat{SRT} \approx 58°  (arrondi au dixième).

Relation fondamentale de la trigonométrie :

Quelque soit l’angle aigu x :
- sin^2 x + cos^2 x = 1 .
- tan\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x} .

Exemple d’utilisation :

Soit x la mesure d’un angle aigu tel que sin\ x = 0,8 . Sans calculatrice on peut déterminer la valeur exacte de  cos\ x puis tan\ x .
On sait que :

sin^2 x + cos^2 x = 1 donc 0,8^2 + cos^2 x = 1
0,64 + cos^2 x = 1
cos^2 x = 1 - 0,64
cos^2 x  = 0,36 or  cos\ x  > 0
donc cos\ x = 0,6 .
tan\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x} donc tan\ x = \frac{0,8}{0,6}
tan\ x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}