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Par : webm
Publié : 2 mai 2011

Nombres relatifs : addition soustraction. 5ème.

Addition de deux nombres relatifs

Propriété : L’addition de deux nombres relatifs est définie à partir de l’addition de deux nombres positifs, de la définition d’un nombre relatif négatif et de l’addition de deux nombres opposés de telle sorte que les propriétés connues de l’addition soient toujours valables.

Justification : dans les exemples ci-dessous, on se ramène à des additions connues en utilisant les définitions (en particulier la définition de deux nombres relatifs opposés).

  • situation 1 :
    S= (-7)+9
    S= (-7)+7+2 On fait apparaître la définition des opposés 7 et (-7) pour faire l’addition.
    S=0+2 On utilise la définition des nombres opposés.
    S= 2
  • situation 2 :
    S= (-7)+(-9)
    S + 7 + 9 = (-7)+(-9) + 7 + 9 on utilise les opposés des deux nombres dont on connait la somme.
    S + 16 = 0 On applique cette définition.
    S = (-16) Par définition de l’opposé.
  • situation 3 :
    S = 7 + (-9)
    S = 7 + (-7) + (-2) On décompose (-9) en une somme connue de deux nombres relatifs.
    S = (-2) On applique la définition de l’opposé d’un nombre.

Propriété (induite par la propriété de l’addition) : L’ordre dans lequel on fait les additions n’a pas d’importance.

Exemples :
(-9)+(-7) = (-7) + (-9)
((-3)+(-5))+ 4 = (-3) + ((-5)+ 4)

Soustraction de deux nombres relatifs.

Propriété : Soustraire par un nombre relatif, c’est ajouter son opposé.

Exemples :
 7 - 9 = 7 + (-9)
 (-7) - (-9) = (-7) + 9
 (-7) - 9  = (-7) + (-9)

Justification sur un exemple générique :
b un nombre relatif, nous allons soustraire b au nombre (-12) : (-12) - b
La différence (-12) - b est par définition le nombre qui ajouté à b donne (-12) :
(-12) - b + b = (-12)
Or si on ajoute au nombre b, la somme 12 + (-b) , alors on obtient le nombre (-12) (voir le calcul ci-dessous) :
S = b + (-12) + (-b)
 S = b + (-b) + (-12) on applique les propriétés de l’addition des nombres relatifs.
S = (-12) on applique la définition des nombres opposés.
Donc la somme (-12) + (-b) , répond à l’opération à trou :   b  + ? = (-12) , c’est donc que cette somme est la différence (-12) - b.
Donc (-12) - b  =  (-12) + (-b).